সংখ্যাতন্ত্র - CLEAR CONCEPT - Part - 2

Jun 14, 2021

মাধ্যমিক গণিত ও উচ্চ মাধ্যমিক গণিতে এ আলোচনা নিতান্তই primary মনে হলেও, পরীক্ষার্থীদের সংখ্যা তন্ত্র সম্পর্কে সঠিক ধারণা থাকা অত্যন্ত প্রয়োজন|

আগের আলোচনায় স্থান ভিত্তিক পদ্ধতি সম্পর্কে সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছিল| ব্যাপারটা বুঝিয়ে বলা যাক| খেয়াল করে দেখা যায়, দশমিক পদ্ধতিতে 1,2 অথবা 3 সংখ্যা গুলির প্রত্যেকের নিজস্ব নির্দিষ্ট মান রয়েছে| আবার এদের মাধ্যমে আমরা যখন 123 সংখ্যাটি লিখি তখন এই সংখ্যায় ব্যবহৃত 1 এর স্থান ভিত্তিক মান হলো 100 অর্থাৎ (1 * 100), কেননা এখানে 1 সংখ্যাটি শতকের ঘরে আছে একইভাবে এখানে 2 এর স্থান ভিত্তিক মান হলো কুড়ি, কারণ দুই চিহ্নটি দর্শকের ঘরে আছে| চিনা বা রোমক পদ্ধতির তুলনায় এই দশমিক পদ্ধতি ব্যবহার গণিতের জগতে যে বিপ্লব এনেছিল তা এককথায় অসামান্য|  এই পদ্ধতির সাহায্যে যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা যত বড়ই হোক না কেন, মাত্র 10 টি সংখ্যা চিহ্ন ব্যবহার করে লিখে ফেলা যায় এবং এর ফলে এসব সংখ্যার মধ্যে মৌলিক ক্রিয়া দুটির গণনা এত চমৎকার ভাবে ছন্দ বদ্ধ হয়ে পড়ে যে খুব অল্প বয়সেই অতি সহজে আমরা তা আয়ত্ত করতে পারি| অপরপক্ষে রোমান যোগ ভিত্তিক পদ্ধতি এতই জটিল যে একে তো বড় বড় সংখ্যা লিখতে গেলে নতুন নতুন নানা চিহ্ন ব্যবহার করতে হতো, তার ওপর দুটি বড় সংখ্যার গুণফল নির্ণয় করতে গেলেও বিশেষজ্ঞ গণিতবিদদের খোঁজ পড়তো| বিখ্যাত ফরাসি গণিতজ্ঞ Laplace হিন্দু আরবীয় গণনা শরীর সম্বন্ধে বলতে গিয়ে লিখেছেন "এই অসামান্য পদ্ধতি যাতে যে কোন পূর্ণ সংখ্যাকে দশটি চিহ্ন ব্যবহার করে লেখা যায়;(প্রতিটি চিহ্নের একটি নিজস্ব সম্মান এবং একটি অবস্থান বর্তমান থাকে) ভারতবর্ষে উদ্ভাবন হয়েছিল| ব্যাপারটা আজ আমাদের কাছে এতই সহজ যে অনেক সময় আমরা তাৎপর্য খেয়াল করে দেখি না এর সহজ সরল মূলকথা যায় একদিন গাণিতিক গণনাকে সুবিধাজনক করেছিল এবং পাটিগণিত কে স্থান করে দিয়েছিল প্রয়োজনে উদ্ভাবনের প্রথম সারিতে|"  সংখ্যা চিহ্নের ব্যবহার করে সংখ্যার গঠন সংক্রান্ত আলোচনা শেষ করার একটি বিশেষ দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করা দরকার- আজকের যুগের বহুল ব্যবহৃত দ্বিরাশিক সংখ্যা তন্ত্র; যাতে মাত্র দুটি সংখ্যার চিহ্ন 0 এবং 1 এর ব্যবহার করা হয়, এবং যে সংখ্যা তন্ত্রের মাধ্যমে কম্পিউটারের যাবতীয় কাজ করে এটাও এক ধরনের স্থান ভিত্তিক পদ্ধতি এবং এর বীজ লুকিয়ে ছিল প্রাচীন দশমিক পদ্ধতির ভেতর|

পূর্ণ সংখ্যার আলোচনার পর আমরা এবার দেখব এসব পূর্ণ সংখ্যা গুলি কিভাবে একটি সরলরেখার উপর কিভাবে বসানো যায়| মনে করা যাক AB একটি সরলরেখা| জ্যামিতির ধারণা থেকে আমরা জানি যে সরলরেখা মাত্রই তাকে দুই দিকে যথেচ্ছ বাড়ানো যায়| এবারে সরলরেখার উপর যে কোন একটি বিন্দু নেওয়া হলো|  একে মূলবিন্দু বলে চিহ্নিত করা হলো এবং এই মূলবিন্দু তে 0 সংখ্যাটিকে বসানো হলো|  এবার যেকোন দৈর্ঘ্যকে একক দৈর্ঘ্য ধরে নিলে O বিন্দুর ডানদিকে একক দৈর্ঘ্য দূরে যে বিন্দু পাওয়া যায় সেই বিন্দুতে 1 সংখ্যাটি বসানো হলো, মূলবিন্দু থেকে একক দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ দূরত্বে ডানদিকে যে বিন্দু আছে সেখানে 2 এবং একইভাবে 3,4 বসে যাবে| অপরপক্ষে মূল বিন্দুর বাঁদিকে একইভাবে একক দৈর্ঘ্য দূরত্বে -1 একক দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ দূরত্বে -2,-3 ইত্যাদি বসানো হলো|এভাবে চালিয়ে গেলে সরলরেখার উপর সমস্ত পূর্ণ সংখ্যাকে বসিয়ে দেওয়া যায়| এই ধরনের সংখ্যা চিহ্নিত সরলরেখাকে সংখ্যাঅক্ষও বলে| খেয়াল রাখতে হবে, স্বাভাবিক সংখ্যা a যদি অন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা b এর থেকে ছোট হয়, তবে সংখ্যাঅক্ষে a জন্য নির্দিষ্ট বিন্দু, b এর জন্য নির্দিষ্ট বিন্দুর বাঁদিকে থাকবে|

1-এর থেকে বড় একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে আমরা মৌলিক সংখ্যা বলবো, যদি এই সংখ্যাটির উৎপাদক শুধুমাত্র এক এবং সংখ্যাটি নিজেই হয়| একটু খেয়াল করলে দেখা যাবে যে, অনেক সংখ্যাকে তার থেকে ছোট সংখ্যার উৎপাদকের ভেঙে ফেলা যায়| 1 কে বাদ দিয়ে যেসব ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা মৌলিক নয় তাদের যৌগিক সংখ্যা বলে| অর্থাৎ আমরা বলতে পারি যে একটি যৌগিক সংখ্যা কে একাধিক মৌলিক সংখ্যার উৎপাদকের ভেঙে ফেলা যায় তবে এক্ষেত্রে মনে রাখা প্রয়োজন 1 সংখ্যাটি মৌলিকও নয় যৌগিক ও নয়

এ বিষয়ে প্রসঙ্গত একটি প্রশ্ন আসে স্বাভাবিক সংখ্যার এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা কয়টি? শুনলে অবাক হতে হয়, এ প্রশ্নের উত্তর পাওয়া যায় খ্রিস্টপূর্ব 300 সালে Euclid এর কাজে| তিনি প্রমাণ করেন-

  1. অফুরন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যা গুনে শেষ করা যায় না|
  2. একের থেকে বড় যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়নি যে মৌলিক হবে অথবা তাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যাবে এই উৎপাদকে বিশ্লেষণ অনন্যতায় উৎপাদক গুলি ঘৃণ্য ক্রমে থাকতে পারে|
  3. দুটি সংখ্যা a ও b এর গুনফল অর্থাৎ, আবার যদি একটি মৌলিক সংখ্যা ফোন দ্বারা বিভাজ্য হয়,  তবে হয় a নয়তো b অথবা উভয় সংখ্যায় p দ্বারা বিভাজ্য|

## গণিতের জগতে বিশেষত সংখ্যাতত্ত্বে মৌলিক সংখ্যার আজও রহস্যময়| মৌলিক সংখ্যা সংক্রান্ত বহু সমস্যা তাদের মধ্যে কয়েকটি সহজ সরল হলেও আজও সমাধান করা যায়নি এমন একটি সমস্যার কথা এখানে সংক্ষেপে বলা যেতে পারে|

2 বাদে যেকোনো ধনাত্মক জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ যে সংখ্যায় 2 দ্বারা বিভাজ্য তা নাও|এবার লক্ষ্য করো যে সংখ্যাটিকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যাচ্ছে|যেমন ধরো 4 = 2+2,6=6+3,8=3+5,10=3+7,24=7+17 ইত্যাদি| হলফ করে বলতে পারি ছাত্র-ছাত্রীরা এর কোন অন্যথা খুঁজে পাবেনা|কিন্তু যে কোনো জোড় সংখ্যার জন্য কি একথা সত্যি যে তাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যায়?1742 সালে একজন গণিত শিক্ষক Christian Goldbach একটি চিঠিতে বিখ্যাত গণিতজ্ঞ Leonard Euler কে এই অনুমানের কথা জানান| গণিতের ইতিহাসে একটি গোল্ডবাখ অনুমান নামে বিখ্যাত| এই সমস্যার কথা আজও প্রমাণ করা যায়নি যদিও গণিত জগত সাধারণভাবেই অনুমানের সত্যতাকেই বিশ্বাস করে| এর প্রমাণ এর সবচেয়ে কাছে পৌঁছতে পেরেছেন চিনা গণিতজ্ঞ Chen Jing Run|

এভাবে ইতিহাসের সাথে বিবর্তন হয়েছে সংখ্যা তন্ত্রের ধারণার|ঘাত প্রতিঘাত এবং গাণিতিক অনুসন্ধিৎসার ভেতর প্রবহমান এই Number system আজও অনেক রহস্য ঘেরা|  এবং এই রহস্যপিপাসু গণিতবিদেরা আজও এই রহস্য উন্মোচনের চেষ্টা করে চলেছেন|

Live Online Maths Tuition Class 9-12

WB Board Syllabus, 80 classes for one year, 4 Modules of 20 classes, 2 classes per week, Zoom Software Platform, Recordings Available, Free Homework Help

Enroll Now!

Homework Help from Expert Tutors

Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

Upload Now!

Team VidOnko

VidOnko offers highly effective and student-friendly Bengali video solutions on Mathematics for Madhyamik and Higher Secondary examination. This is the first learning initiative done exclusively in Bengali to help students accustom to the new normal. 

Related Posts

Search

  • Live Online Maths Tuition Class 9-12

    • WB Board Syllabus
    • 80 classes for one year
    • 4 Modules of 20 classes
    • 2 classes per week
    • Zoom Software Platform
    • Recordings Available
    • Free Homework Help
    Enroll Now!
  • Homework Help from Expert Tutors

    Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

    Upload Now!