উপপাদ্য এবং প্রয়োগ Suggestion - মাধ্যমিক 2021

মাধ্যমিক 2021 এ উপপাদ্য এবং প্রয়োগ একটি গুরুত্বপূর্ণ বিভাগ| সর্বমোট 21 নম্বর এই বিভাগটির জন্য ধার্য থাকে| ছাত্র-ছাত্রীদের সুবিধার্থে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য এবং প্রয়োগ অধ্যায় অনুযায়ী সাজিয়ে উপস্থাপন করা হল:

উপপাদ্য:

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

1) ব্যাস নয় এরূপ কোন জ্যা এর ওপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে ওই লম্ব জ্যা টিকে সমদ্বিখন্ডিত করে|

2) প্রমাণ করো যে ব্যাস নয় এরূপ কোন জ্যা কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগামী কোন সরলরেখা সমদ্বিখন্ডিত করে তাহলে,ওই সরলরেখা ওই জ্যা এর উপর লম্ব হবে|

3)জ্যা কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুগামী কোন সরলরেখা সমদ্বিখন্ডিত করে তবে ওই সরলরেখা ওই জ্যা এর উপর লম্ব হবে|

 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

1) কোন বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ|

2) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

1) বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোনগুলি পরস্পর সম্পূরক|

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1) বৃত্তের কোন বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত|

2) যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শবিন্দু টি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরল রেখাংশের  উপর অবস্থিত হবে|

প্রয়োগ:

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

 1)একটি সরলরেখা দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি কে A, B এবং অপরটি কে C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে প্রমাণ করো AC=BD

 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

1) ত্রিভুজ ABC এর পরিকেন্দ্র O এবং OD লম্ব BC; প্রমাণ করো যে <BOD=<BAC

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য

1) প্রমাণ করো যে কোন চতুর্ভুজের কোন্ চারটির সমদ্বিখন্ডক গুলি পরস্পর মিলিত হলে যে চতুর্ভুজ গঠন করে সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ|

বৃত্তের স্পর্শক সম্পর্কিত উপপাদ্য

1)O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR একটি জ্যা QওR বিন্দুতে স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে|QM বৃত্ত টির ব্যাস হলে প্রমাণ করো:<QPR=2<RQM

2) দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তর টির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে|  প্রমাণ করো:PQ=½ BC

 3)O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC ব্যাস; ABC বৃত্তস্থ ত্রিভুজ এবং OP লম্ব AB হলে প্রমাণ করো-OP:BC=1:2

4) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব AD²=BD. DC; প্রমাণ করতে হবে,<BAC=90°

5) ত্রিভুজ ABC এর শীর্ষবিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব, যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে,এবং AD²=BD. CD হলে, প্রমাণ করো ত্রিভুজ ABC সমকোণী ত্রিভুজ এবং<A=90°

6)O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো,AB+CD=BC+DA. 

এছাড়াও ছাত্র-ছাত্রীদের সুবিধার্থে কয়েকটি VSA এর set দেওয়া হল:

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

1)একটি সরল রেখা কোনো বৃত্তকে________অধিক বিন্দুতে ছেদ করিতে পারে না।
Ans.2

2)বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে________ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক ।
Ans. বিপরীত

3)বৃত্তস্থ সূষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহু বৃত্তের________ সমান।
Ans. ব্যসার্ধ

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

1)একটি বৃত্তের ব্যাস অর্ধবৃত্তে যে সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণ উৎপন্ন করে তাকে ________  বলে।
Ans. অর্ধবৃত্তস্থ কোন

2)সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি________ বিন্দু দিয়ে যাবে।
Ans. সমকৌণিক দিয়ে যাবে

3)যে-কোনো সমকোণী ত্রিভু্জের পরিকেন্দ্র ________-এর ওপর অবস্থিত ।
Ans. অতিভূজ

4)অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ________ ।
Ans. সূক্ষকোণ

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

1)বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের হবে________ ।
Ans. ব্যাস

2)একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি______হবে ।
Ans. সমবৃত্তস্থ

3)বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি_______ ট্রাপিজিয়াম।
Ans. সমদ্বিবাহু

4)একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি_______।
Ans. সমবৃত্তস্থ

সত্য-মিথ্যা নিরূপণ

1)বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিস্থ কোণটি সর্বদা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়। [T]

2)কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান্তরাল হলে সেটির অপর বাহুদ্বয় সমান হবে এবং কর্ণদ্বয় সমান হবে। [T]

3)বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে-কোনো একটির বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির সমষ্টি 180∘। [F]

4)একটি বৃত্তথা চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরষ্পর পূরক কোণ। [F]

5)একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক আয়তাকার চিত্র। [T]

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1)দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে স্পর্শবিন্দু ও বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয় সর্বদা ________ হয়।
Ans. ব্যাস

2)কোনো বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর ________ কোণে নত।
Ans. সমকোণে

3)দুটি বৃত্তের দুটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হয় ________ ।
Ans. সমান

4)দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পৰ্শ না করলে সর্বাধিক ________ টি সাধারণ স্পর্শক থাকবে।
Ans. চারটি

5)বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হইতে ওই বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর________।
Ans. সমান

6)স্পৰ্শ বিন্দুগামী________ এবং________ স্পর্শকবিন্দুতে পরম্পর লম্ব
Ans. সরলরেখা, ব্যাসার্

সত্য-মিথ্যা নিরূপণ

1)কোনো বৃত্তের একটি জ্যার প্রান্তবিন্দুতে অকিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে। [T]

2) বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুতে অকিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়। [T]

3)বৃত্তের বাইরের কোনো একটি বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর যে দুটি স্পর্শক টানা যায় তাদের দৈর্ঘ্য অসমান হয়। [F]

এক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য,উপপাদ্য প্রয়োগের এই suggestion set টি, Madhyamik Math practice sequence অনুযায়ী প্রস্তুত করা হয়েছে|অর্থাৎ এগুলি ক্রমানুযায়ী practice করলে,যেকোনো উপপাদ্য বা প্রয়োগ এর ক্ষেত্রে কোন সমস্যাই হবে না|