উচ্চ মাধ্যমিক গণিত চিত্রণ - BASIC CONCEPTS

Jun 03, 2021

এ অধ্যায়ে আমরা উচ্চ মাধ্যমিক গণিত এর চিত্রনকে বিশেষ প্রকারের সম্বন্ধে হিসেবে প্রকাশ করব এবং দুটি সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রকাশ করব|

Mapping of Function As A Set of Ordered Pairs

মনে করা যায় A ও B দুটি অশূন্য সেট| A থেকে B সেট এ একটি সম্বন্ধ f অর্থাৎ A×B সেটের যেকোনো অশূন্য উপসেট কে এ থেকে বিচিত্র অপেক্ষক বলা হবে যদি-

1. ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B যাতে, (a, b) ∈ f হয়[অর্থাৎ A সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের a এর জন্য B সেটে একটি উপাদান  এমন ভাবে পাওয়া যায় যাতে(a, b) ক্রমযুগলটি f সেটে থাকে]|

2. (a, b)∈f এবং(a, c)∈f→b=c  হয় [অর্থাৎ, A সেটের প্রত্যেকটি উপাদান a এর জন্য B সেটে একটি নির্দিষ্ট  উপাদান b থাকে, যাতে  (a, b) ক্রমযুগলটি f সেটে থাকে]|
b কে বলা হয় a এর প্রতিবিম্ব এবং a কে বলা হয় bএর প্রাগবিম্ব, এবং আমরা লিখি f(a)=b

এক্ষেত্রে অনুষন্ধিৎসু পরীক্ষার্থীরা লক্ষ্য করবে যে, A থেকে B সেটে সকল সম্বন্ধ ও চিত্রণ নয় কিন্তু সকল চিত্রনই সম্বন্ধ|

সুতরাং এ থেকে বিষয়টি সম্বন্ধে চিত্রণ কি না তা যাচাই করতে নিম্নোক্ত তিনটি শর্ত পরীক্ষা করতে হবে-

1. A সেটের প্রত্যেকটি পদের B সেটে একটি প্রতিবিম্ব থাকবে|

2. A সেটের একটি পদের B সিটি একাধিক প্রতিবিম্ব থাকতে পারবে না|

3. B সেটের কোন পদের A সেটে প্রাগবিম্ব নাও থাকতে পারে|

সম্পর্ক হিসেবে চিত্রণ বা অপেক্ষক (Mapping of Function As A Correspondence)

মনে করা যাক A ও b দুটি অশূন্য সেট| একটি নিয়ম বা পদ্ধতি বা সম্পর্ক বা যোগসূত্র f কে A থেকে B সেটে একটি চিত্রন বা আপেক্ষক বলা হবে যদি-

1. A সেটের প্রত্যেকটি পদ B সেটের কোন না কোন পদের সঙ্গে সম্পর্কিত হয়,

2. A সেটের প্রত্যেকটি পদ B সেটের নির্দিষ্ট পদের সঙ্গে সম্পর্কিত হয়|

f সম্পর্কের দ্বারা a ∈ A যদি b ∈ B এর সঙ্গে সম্পর্কিত হয় তবে,b কে বলা হয়, a এর প্রতিবিম্ব, এবং a কে বলা হয় b এর f- প্রাগবিম্ব|A সেট কে বলা হয় f- চিত্রণ এর সংজ্ঞার অঞ্চল, B সেট কে বলা হয় f চিত্রণ এর সহ অঞ্চল এবং{f(a) :a ∈ A} এই সেটটি কে বলা হয় f-চিত্রণ এর প্রসার|

সুতরাং আমরা চিত্রণ ও অপেক্ষকের সংজ্ঞা হিসাবে এটাও বলতে পারি যে কোন নির্ধারিত  অঞ্চলে অবস্থিত কোন চলরাশি x এর  প্রত্যেকটি মানের জন্য যদি অপর একটি চলরাশি y এর একটি এবং কেবলমাত্র একটি করে নির্দিষ্ট সম্পর্কিত মান থাকে তবে, y কে x  এর একটি অপেক্ষা চিত্রণ বলা হবে এবং ধারণাটিকে y = f (x) রূপে প্রকাশ করা হয়|

এক্ষেত্রে x চলরাশিটিকে f অপেক্ষক সাপেক্ষে স্বাধীন চল এবং y চলরাশি কে f অপেক্ষক সাপেক্ষে অধীন চল বলা হয়|

দুটি চিত্রণ এর সমতা (Equality of Two Mappings or Functions)

দুটি চিত্রন f₁ এবং f₂ কে পরস্পর সমান বলা হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি

1. f₁  এর সংজ্ঞার অঞ্চল=f₂ এর সংজ্ঞার অঞ্চল

2. ∀x ∈ Df₁,f₁(x)=f₂(x) হয়

দুটি চিত্রন f₁ এবং f₂ সমান হলে আমরা লিখি f₁= f₂

বিভিন্ন প্রকারের চিত্রন বা অপেক্ষক (Different Types of Mapping or Functions)

একৈক চিত্রণ (One-one Mapping or Injective Mapping or Injection)

একটি চিত্রণ f : A → B কে একৈক বলা হয় যদি A সেটের বিভিন্ন পদের B সেটে বিভিন্ন প্রতিবিম্ব থাকে|
 সুতরাং,f : A → B চিত্রটি একৈক

বহু এক চিত্রন বা অপেক্ষক (Many One Mapping of Function)

একটি চিত্রন f : A → B  কে বহু এক চিত্রণ বলা হয় যদি A সেটের দুই বা ততোধিক পদের B সেটে একটিই f- প্রতিবিম্ব হয়|
অর্থাৎ,f : A → B চিত্রটি বহু এক হবে যদি, a, b ∈ A a ≠ b কিন্তু f(a)=f(b) হয়|

উপরি চিত্রণ বা পরিব্যাপ্ত চিত্রণ (Onto Mapping or Surjection or Surjective Mapping)

একটি চিত্রন f : A → ন কে একটি উপর চিত্রন্না পরিব্যাপ্ত চিত্রণ বলা হয় যদি B সেটের প্রত্যেকটি পদের A সেটে এক বা একাধিক f- প্রাগবিম্ব থাকে,  অর্থাৎ যদি f(A)=B  হয় অর্থাৎ যদি f-চিত্রণ এর প্রসার ও সহ অঞ্চল সমান হয়|

অন্তঃচিত্রণ (Into Mapping or Function)

একটি অপেক্ষক f : A → B কে অন্তত চিত্রণ বলা হয় যদি B সেটের অন্তত একটি পদ এর অস্তিত্ব থাকে যার A সেটে কোন f- প্রাগবিম্ব নেই|

একৈক-উপরিচিত্রন বা অপেক্ষক( one one onto mapping or bijection or bijective mapping)

একটি চিত্রন  f : A → B কে একৈক-উপরিচিত্রন বলা হয় যদি চিত্রটি একইসঙ্গে একৈক এবং উপরিচিত্রন হয়|

ধ্রুবক চিত্রণ বা অপেক্ষক (Constant Mapping or Function)

একটি চিত্রন f : A → B কে ধ্রুবক চিত্রণ বলা হবে যদি,∀x ∈ A, ∃ c ∈ B যাতে f(x)=c হয়|

উপাদানস্থির চিত্রন বা অপেক্ষক (Identity Mapping or Function)

x একটি চিত্রন f : A →A কে উপাদানস্থির চিত্রন বলা হবে যদি,∀x ∈ A,f(x)=x হয়|
উপাদানস্থির চিত্রন কে Iᴬ দ্বারা প্রকাশ করা হয়|
∀x ∈ A, Iᴬ(x)=x

উপরোক্ত পর্যায়ে চিত্রণ সম্বন্ধিত basic ধারণাটি রপ্ত করতে পারলে,পরীক্ষার্থীরা উচ্চমাধ্যমিক গণিতে আরো বেশি উদ্যমের সাথে practice করতে পারবে|

Live Online Math Classes

Board Syllabus, Total 80 Classes, 4 Modules, 2 Classes every week, Zoom Software, Recordings available.

Enroll Now!

Homework Help from Expert Tutors

Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

Upload Now!

Team VidOnko

VidOnko offers highly effective and student-friendly Bengali video solutions on Mathematics for Madhyamik and Higher Secondary examination. This is the first learning initiative done exclusively in Bengali to help students accustom to the new normal. 

Related Posts

Search

  • Live Online Math Classes

    • Board Syllabus
    • Total 80 Classes
    • 4 Modules
    • 2 Classes every week
    • Zoom Software
    • Recordings available.
    Enroll Now!
  • Homework Help from Expert Tutors

    Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

    Upload Now!