উচ্চ মাধ্যমিক গণিত- Class 11- সেট তত্ত্বের প্রাথমিক ধারণা

May 29, 2021

জার্মান গণিতজ্ঞ George Cantor বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি গাণিতিক ধারণা দিতে গিয়ে শিক্ষকদের জন্য| গাণিতিক ধারণা যথাযথ এবং প্রকাশের ভাষা হিসেবে ধীরে ধীরে সে তত বাড়তে থাকে এবং আজ এমন এক উচ্চতায় পৌঁছেছে যে - অনেকে বলেন গ্রন্থের মূল ধারণা এ দুটি স্তম্ভ হল সেট এবং অপেক্ষক|

ছাত্র-ছাত্রীদের মনে সর্বপ্রথম যে স্বাভাবিক প্রশ্ন আসে তাহলে সেট কাকে বলে? জ্ঞান বিজ্ঞানের কোন শাখায় শুরুর প্রথম ধারণাটি সংজ্ঞা থাকতে পারে না,  কারণ সংজ্ঞা আনে এমন একটি বিবৃতি, নতুন ধারণা থেকে আগের কোনো ধারণার সাহায্য নিয়ে প্রকাশ করে| বাস্তবিক এই ধরনের সংজ্ঞা দিতে গেলে ডায়মন্ড কূটাভাস এর সৃষ্টি করে যার যুক্তিগত সমাধান সম্ভব নয়| বস্তুত শুরুতে থাকা উচিত কয়েকটি সংঘটিত প্রাথমিক ধারণা এবং তাদের ধর্ম সংক্রান্ত কতকগুলি স্বতঃসিদ্ধ, যার থেকে বাকি সব ধারণা বা গাণিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ পাওয়া যায়| মূলত পৃথক বস্তুসমূহের সুসংগত সমাহার কেই সেট বলে অভিহিত করা যায়|

set theory math

যেসব বস্তুকে একত্র করে সেট তৈরি হয় তাদেরকে বিশেষ উপাদান বা সদস্য বলা হয়| এ ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য উপরের সংখ্যাটিকে সুসংগত শব্দটির সমাহার এর বিশেষণ| সংজ্ঞাটি দাবি করছে কোন সমাহারকে সেট হতে গেলে তাকে সুসংহত হতে হবে,  এই অর্থে যে এই ধরনের সমাহারে সদস্যপদ দেবার মা বাবার ব্যাপারে কোন অনিশ্চয়তা থাকবে না|

উদাহরণ হিসেবে পৃথিবীর সব মোটা মানুষেরা কোন ওষুধ তৈরি করে না কিন্তু সেই সব মোটা মানুষেরা তাদের ওজন 130 কেজি বা আরো বেশি এই সমাহারটি একটি সেট| এক্ষেত্রে প্রথম সমাধানের ক্ষেত্রে সদস্যপদের শব্দ পরিষ্কার নয় কারণ কোনো একজন মানুষ কতটা মোটা হলে এই সমাজের সদস্য বলা যাবে এ ব্যাপারে মতভেদ এর সুযোগ থাকছে| পক্ষান্তরে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এই ধরনের মরুভূমি কোন প্রশ্নই ওঠে না তাই এই দ্বিতীয় সমাহার সুসংজ্ঞাত, এবং সেজন্য এটি একটি সেট এর উদাহরণ|

অংকের জগত থেকে উদাহরণ হিসেবে বলা যায় যে কয়েকটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সমাধান হবে না কিন্তু প্রথম 10 টি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অবশ্যই সেট হবে|

সেক্ষেত্রে সেটের সংঘাত আর একটি বিশেষ দিক আলোচনার দাবি রাখে| যে ক্ষেত্রে সংজ্ঞায় পৃথক বস্তুসমূহের কথা বলা হয়েছে অর্থাৎ একই বস্তু হিসেবে একাধিকবার সদস্য হতে পারেনা|

সেট কাকে বলে?

সেটের সংজ্ঞাই আরেকটি দিক সম্বন্ধেও পরিষ্কার ধারণা থাকা দরকার,  কোনো সুসঙ্গত বস্তুসমূহের সমাহার কে সেট বলে মেনে নেওয়ার জন্য কিন্তু সেই সমাহারের প্রতিটি উপাদান কেই আলাদা আলাদা ভাবে চিনতে হবে এমন প্রয়োজন নেই| যেমন আমরা সব স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এর কথাই বলতে পারি যদিও প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা কে আলাদাভাবে আমরা অবশ্যই চিনি না| একইভাবে আমরা সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট এর কথা বলব, কারণ আমরা জানি যে কোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা মৌলিক না যৌগিক হবেই কিন্তু কখনও একসাথে দুটোই হবে না অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে যে কোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা দেওয়া হলে তা উপরের সমাহারে থাকবে কিনা- এটা ঠিক করতে তাত্ত্বিকভাবে কোনো নিশ্চয়তা নেই |সংখ্যাটি মৌলিক হলে সমাহারে থাকবে, না হলে থাকবে না ;যদিও খেয়াল করা যায় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা কে আলাদাভাবে আমরা চিনিনা|

Set theory

চিহ্নের ব্যবহার

প্রচলিত রীতি অনুসারে আমরা সেটা বোঝাতে A, B, C, D …  ইত্যাদি ব্যবহার করব এবং সেটের উপাদান বা সদস্য বোঝাতে গেলে a, b, c, d…  ইত্যাদি ব্যবহার করব|

  • a যদি কোন সেট A, এর উপাদান হয় তবে আমরা লিখব a∈A
  • ∈ চিহ্নটি এসেছে গ্রিক অক্ষর এফসাইলন থেকে| এই চিহ্নটি ক্যাসেটের সদস্যতা বোঝানোর পরিপ্রেক্ষিতে প্রথম ব্যবহার করেন ইতালি ও গণিতবিদ peano.

দুটি সেট এ A ও B কে আমরা সমান বলবো যদি তারা অবিকল একই উপাদান দিয়ে গঠিত হয় সেক্ষেত্রে আমরা লিখব A=B

যদি কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n( যেকোনো ও অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা) হয় তাহলে সেটিকে সসীম সেট অন্যথায় অসীম সেট বলে|

একটি সেট কে বর্ণনা করা দু'রকম পদ্ধতি প্রচলিত আছে: তালিকা পদ্ধতি এবং সেট নির্মাণ পদ্ধতি|

তালিকা পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে একটি সেট কে তালিকাবদ্ধ ভাবে প্রকাশ করা হয় অর্থাৎ সেটের সমস্ত উপাদানগুলিকে দুটি দ্বিতীয় বন্ধনের মধ্যে এক এক করে লিখে ফেলা হয় উদাহরণ হিসেবে প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট কে এই পদ্ধতি অনুসারে লেখা হবে-{1,2,3,4,5}; আবার ইংরেজি স্বর বর্ণের সেটকে লেখা হবে{a,e, i, o, u}

এবার খেয়াল করলে দেখা যাবে এই পদ্ধতিতে যদি সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সেট কে বর্ণনা করতে হয় তাহলে লিখতে হবে {1,2,3,4,....} কারণ স্পষ্টত এটি একটি অসাম শট এবং সে কারণেই স্পষ্টতই স্বাভাবিক সংখ্যাকে সরাসরি তালিকাভুক্ত করা সম্ভব নয়, এক্ষেত্রে বর্ণনা করা দ্বিতীয় পদ্ধতি আমাদের কাজে লাগবে|

সেট নির্মাণ পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে একটি সেট কে বর্ণনা করতে আমরা সেক্টর সুসংগত নির্মাণ বাক্যকে ব্যবহার করি যেটি আসলে ওই শেট্টির উপাদানগুলির সাধারণ চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য কে ভাষায় প্রকাশ করে| 

  • N: সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
  • Z: সব পূর্ণ সংখ্যার সেট
  • Z-: সব ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট
  • E: সব জোড় সংখ্যা গুলির সেট
  • Q: সব মূলদ সংখ্যা গুলির সেট
  • Q⊛: 0 ছাড়া সব মূলদ সংখ্যা গুলির সেট
  • Q⊕: সব ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার সেট
  • R সব বাস্তব সংখ্যা গুলির সেট
  • R⊕: সব ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা গুলির সেট

উপরোক্ত তথ্যগুলি নিতান্তই সেট সম্বন্ধে প্রাথমিক ধারণা| এক্ষেত্রে কোনো ভাবেই সেটকে সংজ্ঞায়িত করা বা,  বা কোনরকম ব্যবহারিক প্রয়োগ নিষ্প্রয়োজন|তবে এর মাধ্যমে ছাত্র-ছাত্রীরা সেট সম্বন্ধে উৎসাহ এবং HS math practice করার জ্বালানি পেতে পারে|

Live Online Math Classes

Board Syllabus, Total 80 Classes, 4 Modules, 2 Classes every week, Zoom Software, Recordings available.

Enroll Now!

Homework Help from Expert Tutors

Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

Upload Now!

Team VidOnko

VidOnko offers highly effective and student-friendly Bengali video solutions on Mathematics for Madhyamik and Higher Secondary examination. This is the first learning initiative done exclusively in Bengali to help students accustom to the new normal. 

Related Posts

Search

  • Live Online Math Classes

    • Board Syllabus
    • Total 80 Classes
    • 4 Modules
    • 2 Classes every week
    • Zoom Software
    • Recordings available.
    Enroll Now!
  • Homework Help from Expert Tutors

    Upload your homework questions and get video and PDF solutions created by expert tutors. Delivery within 6- 24 Hrs.

    Upload Now!